aplicaciones

tríos de pitagóricos

Un trío pitagórico consiste de un triple de enteros positivos (a, b, c), de manera que [a.sup.2] + [b.sup.2] = [c.sup.2]. Si ocurre que DCM (a, b) = 1 = DCM (b, c) = DCM (a, c) decimos que (a, b, c) es un trío pitagórico primitivo. Esto último equivale a decir que DCM (a, b, c) = l. En otro artículo (Vol. 2, No. 2, 1997, págs. 172-178), se demostró que si m y n son enteros positivos tal que (i) m > n (ii) uno de los números m y n es par (el otro es impar) (iii) DCM (m, n) = 1 entonces el triple (a, b, c) definido por a = 2 m n, b = [m.sup.2] - [n.sup.2], c = [m.sup.2] + [n.sup.2] es un trío pitagórico primitivo. Observe que a es un número par y ambos b y c son números impares. Estamos interesados en determinar tríos pitagóricos consecutivos, es decir, triples de enteros positivos (p, q, r) de suerte que [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2] y al menos dos de ellos son enteros consecutivos, esto es, (i) p, q y r son enteros consecutivos (ii) p ó q y r son enteros consecutivos (iii) p y q son enteros consecutivos En el primer caso, situación (i), existe un único trío pitagórico consecutivo, el triple (3, 4, 5). La igualdad anterior garantiza que r > p, r > q pero p + q > r. De hecho, es fácil ver que r <> p. Si (p, q, r) es un trío pitagórico consecutivo, entonces q = p + 1, r = q + 1 = p + 2 Luego, la ecuación [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2], se transforma en [p.sup.2] + [(p + l).sup.2] = [(p + 2).sup.2] cuya única solución entera positiva es el valor p = 3. En consecuencia, q = 4 y r = 5, así que en el caso (i), el único trío pitagórico consecutivo es (3, 4, 5). Consideraremos ahora el caso (ii), sabemos que r > p y r > q. En esta situación r = p + 1 ó r = q + 1 Claramente los valores de p y q pueden intercambiarse. Además, solamente r = [m.sup.2] + [n.sup.2] puede ser entero consecutivo con p ó q = 2 m n, que es un número par positivo. Es imposible que p ó q = [m.sup.2] - [n.sup.2] y r sean enteros consecutivos. Supongamos entonces que (p, q, r) esun trío pitagórico consecutivo tal que r = p + 1. Entonces [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2], equivale a [p.sup.2] + [q.sup.2] = [(p + 1).sup.2] = [p.sup.2] + 2 p + 1, y de aquí resulta que [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] Como p es un entero par positivo, q es un entero impar mayor que 1, esto es, q = 2k + 1 para algún número natural k. Los valores de q son 3, 5, 7, 9, ... y para estos valores, los valores de p son 4, 12, 24, 40, ..., respectivamente. Los valores correspondientes de r son 5, 13, 25, 41,.... Luego, los tríos pitagóricos consecutivos son (4, 3, 5), (12, 5, 13), (24, 7, 25), (40, 9, 41), ... En este caso un trío pitagórico consecutivo ([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) en la sucesión anterior está dado por las sucesiones [p.sub.j] = 2 j (j + 1), [q.sub.j] = 2 j + 1, [r.sub.j] = [p.sub.j] + 1 donde j = 1, 2, 3, 4, ... Por ejemplo, si j = 10, entonces ([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) = [p.sub.10], [q.sub.10], [r.sub.10] = (220, 21,...

Aplicación del teorema de pitágora para calcular distancia entre dos puntos

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

caracolacon triangulo rectángulos

Biografia

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría, Egipto. Existen algunos otros datos poco fiables. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:
Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.
Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.

biografía de thales

Biografía

Los datos biográficos de Tales de Mileto son una mezcla de opiniones, hechos atribuidos a su persona, y citas con alto grado de verosimilitud, recogidas de diversos autores de épocas bastante posteriores, y reinterpretados y expuestos a la luz de la mentalidad del narrador. Contamos con la importante aportación de Aristóteles, el cual, en su descripción, intenta delimitar los escritos y dichos atribuibles con certeza al mismo Tales, de los hechos dudosos ('dicen...') y de sus propias opiniones ('quizá quiso decir...').
Tales nació en la ciudad de Mileto (griego: Μίλητος literalmente Miletos, turco: Milet) una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es la Provincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes.
La mayoría de los historiadores nos lo presentan como genuino milesio. Sin embargo, según Diógenes Laercio, importante historiador griego, fue admitido en la ciudad jonia de Mileto, a orillas del Mar Egeo después de ser expulsado de Fenicia junto con Nileo. Lo que es incuestionable es que residió en aquella ciudad y fue allí en donde desarrolló su filosofía. Fue hijo de Euxamias (conocido también como Examio) y de Cleobulina (o Cleóbula), y al parecer tuvo ascendencia fenicia. Como los jonios mantenían tráfico comercial con Egipto y Babilonia, es probable que Tales visitara el primero en su juventud, durante el reinado del faraón Amasis, en donde se supone que fue educado por los sacerdotes. Quizás fueron condiscípulos suyos Solón y Ferécides de Siros. También es probable que haya conocido personalmente a Pitágoras, a quien recomendaría viajar a Egipto y educarse con los sacerdotes de Menfis y Dióspolis. De los babilonios debió aprender astronomía. Anaximandro y Anaxímenes pueden haber sido discípulos suyos. Apolodoro, en su ¨Cronología¨, afirma que murió a la edad de setenta y ocho años. Sin embargo, Sosícrates asegura que murió en la olimpiada LVIII, a la edad de noventa años.
Tanto Heródoto (I, 170) como Diógenes Laercio (I, 25) lo señalan como un sabio consejero político de jonios y lidios. Laercio afirma que algunos como el poeta Corilio declararon que fue el primero en sostener la inmortalidad del alma, que, según nos refiere Aristóteles, es para Tales una fuerza motriz. También refiere Heródoto (I, 75) que logró desviar el río Halys para que fuera cruzado por el ejército de Creso.
Aristóteles, por su parte, cuenta en su Política (I, 11, 1259a) que también se destacó en el área de las finanzas, una vez que, habiendo predicho (gracias a sus conocimientos astronómicos) cómo sería la cosecha de aceitunas, compró durante el invierno todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos y las alquiló al llegar la época de la recolección, acumulando una gran fortuna y mostrando así que los filósofos pueden ser ricos si lo desean, pero que su ambición es bien distinta.
Quizás la anécdota más conocida de Tales es aquella que nos refiere Heródoto, cuando predijo a los jónicos el año en que sucedería un eclipse solar (quizá llevada a cabo gracias al sistema babilónico), hacia el año 585 a. C. Asimismo, Diógenes Laercio recuenta que, al caer Tales en un pozo después de ser llevado por una vieja mujer a ver las estrellas, ésta replicó a su pedido de ayuda: ¨¿Cómo pretendes, Tales, saber acerca de los cielos, cuando no ves lo que está debajo de tus pies?¨. Se le atribuye el haber realizado la medición de las pirámides, mediante las sombras que proyectan cuando éstas son de la misma medida que nosotros mismos. Fue el primero en haber hecho una explicación científica de un eclipse. También se dice que fue el primero en dividir al año en estaciones y en 365 días.

Origen de su pensamiento
Es muy probable que haya sido uno de los primeros hombres que llevaron la geometría al mundo griego, y Aristóteles lo consideraba como el primero de los φυσικόι o "filósofos de la naturaleza". Muchas de estas ideas parecen provenir de su educación egipcia. Igualmente, su idea de que la tierra flota sobre el agua puede haberse desprendido de ciertas ideas cosmogónicas del Oriente próximo.

Obras
Algunos estudiosos sostienen que Tales no escribió ninguna obra, y que su conocimiento se transmitió, en un principio, de forma oral. Otros sin embargo, opinan que sí y, siguiendo a las fuentes antiguas, citan entre sus obras (las cuales no han sobrevivido ni siquiera de manera fragmentaria), una Astronomía náutica (atribuída también a Foco de Samos), Sobre el solsticio y Sobre los equinoccios.

El triangulo rectangulo y sus aplicaciones

Los triángulos rectángulos tienen propiedades especiales que nos permiten resolver una gran cantidad de situaciones geométricas y son la base de las identidades trigonométricas. A partir de un triangulo rectángulo se definen los senos, cosenos tangentes (y sus inversas). Estas funciones a su vez tienen amplias aplicaciones en la fisica, porq describen fenomenos fisicos como la corriente alterna, el movimiendo ondulatorio, (péndulo), ondas electromagnéticas etc...

matematica otro nivel

Biografía De Pitagoras
Pitágoras, nació en la isla de Samos en el año 582 a. C. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides de Syros y tal vez con su padre, Babydos de Syros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a.C., en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela.
Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que deb ieron de haber influido a Pitágoras en su juventud. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.
La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.

teorema

Para otros usos de este término, véase Teorema (desambiguación).
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado