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tríos de pitagóricos

Un trío pitagórico consiste de un triple de enteros positivos (a, b, c), de manera que [a.sup.2] + [b.sup.2] = [c.sup.2]. Si ocurre que DCM (a, b) = 1 = DCM (b, c) = DCM (a, c) decimos que (a, b, c) es un trío pitagórico primitivo. Esto último equivale a decir que DCM (a, b, c) = l. En otro artículo (Vol. 2, No. 2, 1997, págs. 172-178), se demostró que si m y n son enteros positivos tal que (i) m > n (ii) uno de los números m y n es par (el otro es impar) (iii) DCM (m, n) = 1 entonces el triple (a, b, c) definido por a = 2 m n, b = [m.sup.2] - [n.sup.2], c = [m.sup.2] + [n.sup.2] es un trío pitagórico primitivo. Observe que a es un número par y ambos b y c son números impares. Estamos interesados en determinar tríos pitagóricos consecutivos, es decir, triples de enteros positivos (p, q, r) de suerte que [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2] y al menos dos de ellos son enteros consecutivos, esto es, (i) p, q y r son enteros consecutivos (ii) p ó q y r son enteros consecutivos (iii) p y q son enteros consecutivos En el primer caso, situación (i), existe un único trío pitagórico consecutivo, el triple (3, 4, 5). La igualdad anterior garantiza que r > p, r > q pero p + q > r. De hecho, es fácil ver que r <> p. Si (p, q, r) es un trío pitagórico consecutivo, entonces q = p + 1, r = q + 1 = p + 2 Luego, la ecuación [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2], se transforma en [p.sup.2] + [(p + l).sup.2] = [(p + 2).sup.2] cuya única solución entera positiva es el valor p = 3. En consecuencia, q = 4 y r = 5, así que en el caso (i), el único trío pitagórico consecutivo es (3, 4, 5). Consideraremos ahora el caso (ii), sabemos que r > p y r > q. En esta situación r = p + 1 ó r = q + 1 Claramente los valores de p y q pueden intercambiarse. Además, solamente r = [m.sup.2] + [n.sup.2] puede ser entero consecutivo con p ó q = 2 m n, que es un número par positivo. Es imposible que p ó q = [m.sup.2] - [n.sup.2] y r sean enteros consecutivos. Supongamos entonces que (p, q, r) esun trío pitagórico consecutivo tal que r = p + 1. Entonces [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2], equivale a [p.sup.2] + [q.sup.2] = [(p + 1).sup.2] = [p.sup.2] + 2 p + 1, y de aquí resulta que [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] Como p es un entero par positivo, q es un entero impar mayor que 1, esto es, q = 2k + 1 para algún número natural k. Los valores de q son 3, 5, 7, 9, ... y para estos valores, los valores de p son 4, 12, 24, 40, ..., respectivamente. Los valores correspondientes de r son 5, 13, 25, 41,.... Luego, los tríos pitagóricos consecutivos son (4, 3, 5), (12, 5, 13), (24, 7, 25), (40, 9, 41), ... En este caso un trío pitagórico consecutivo ([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) en la sucesión anterior está dado por las sucesiones [p.sub.j] = 2 j (j + 1), [q.sub.j] = 2 j + 1, [r.sub.j] = [p.sub.j] + 1 donde j = 1, 2, 3, 4, ... Por ejemplo, si j = 10, entonces ([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) = [p.sub.10], [q.sub.10], [r.sub.10] = (220, 21,...

Aplicación del teorema de pitágora para calcular distancia entre dos puntos

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

caracolacon triangulo rectángulos